Получено точное решение неоднородной задачи теории упругости в «прямоугольнике»

Ученые нашли точное решение для класса сложных инженерных задач, впервые использовав соотношение ортогональности Папковича вместо обычно применяемого интегрального преобразования Фурье. Статья опубликована в журнале Mathematics and Mechanics of Solids. Исследования поддержаны грантом Президентской программы Российского научного фонда (РНФ).

Чтобы избежать трещин, деформаций и разрушения элементов сложных конструкций, инженерам необходимо учитывать то, как объект поведет себя при нагрузке. Это, в свою очередь, требует сложнейших математических расчетов при проектировании. Один из открытых вопросов инженерии связан с решением прикладных задач для того случая, когда нагрузка приложена не на границах, а внутри области. Такие случаи называются неоднородными краевыми задачами теории упругости. В них нужно найти точные решения неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных, удовлетворяющие тем или иным условиям на границе области. Одна из таких задач — передача нагрузки от упругого элемента, расположенного внутри области, к тонкому листу. На практике она реализуется, например, при взаимодействии стрингера (продольный элемент каркаса) самолета и его обшивки.

В 60-80 годы прошлого столетия этим задачам уделялось огромное внимание многих выдающихся ученых, но сейчас их работы в значительной степени забыты. Отчасти это связано с тем, что формулы, описывающие решение, достаточно сложны и требуют от исследователя значительных математических навыков. Вторая и главная причина состоит в том, что все решения были приближенными. Поэтому от статьи к статье подходы сильно отличались, что сказывалось и на результатах,

— рассказывает руководитель проекта по гранту РНФ Александр Кержаев, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН.